Preismodelle (Pricing Models)
Wie Optionen bewertet werden – von Black-Scholes bis Volatility Surface.
Das Black-Scholes-Modell (Black-Scholes-Merton)
Das 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton entwickelte Modell bildet die theoretische Grundlage aller modernen Optionspreismodelle. Es berechnet den fairen Wert einer europäischen Option in geschlossener Form. Black und Scholes erhielten 1997 den Wirtschaftsnobelpreis dafür.
Formel für Call und Put
P = K · e−rT · N(−d₂) − S · N(−d₁)
d₂ = d₁ − σ · √T
Was d₁ und d₂ bedeuten
| Komponente | Bedeutung | In der Formel |
|---|---|---|
N(d₂) |
Wahrscheinlichkeit, dass der Call bei Verfall ITM endet (risikoneutral) | Bestimmt, wie stark K (Strike) gewichtet wird |
N(d₁) |
Delta des Calls – Hedge-Ratio (≈ Wahrscheinlichkeit ITM, adjustiert) | Bestimmt, wie stark S (Aktienkurs) gewichtet wird |
K · e−rT |
Barwert des Strikes (present value of strike) | Diskontiert den Strike auf heute |
S · N(d₁) |
Erwarteter Wert der Aktie wenn ITM (abgesichert) | „Was bekomme ich, wenn die Option ausgeübt wird?" |
Put-Call-Parität (Put-Call Parity)
Diese Arbitrage-freie Beziehung verknüpft Call- und Put-Preis. Sie gilt für europäische Optionen auf nicht-dividendenzahlende Basiswerte. Verletzungen werden von Market-Makern sofort arbitragiert.
Annahmen & Grenzen (Assumptions & Limitations)
Black-Scholes basiert auf vereinfachenden Annahmen, die in der Realität nie vollständig zutreffen. Das Modell ist trotzdem der Industriestandard – nicht weil es perfekt ist, sondern weil es eine gemeinsame Preissprache (IV) schafft.
Konstante Volatilität – Das Modell nimmt an, dass σ über die Laufzeit konstant ist. In der Realität schwankt die IV stark (volatility clustering). Dies erklärt den Volatility Smile (→ Abschnitt unten).
Lognormale Renditeverteilung – Aktienkurse zeigen in der Praxis Fat Tails (Extremereignisse häufiger als die Normalverteilung vorhersagt). Schwarze Schwäne (Black Swan Events) werden systematisch unterschätzt.
Keine Dividenden – Das Basismodell berücksichtigt keine Ausschüttungen. Für dividendenzahlende Aktien wird eine modifizierte Version (Merton 1973) verwendet: S wird durch S·e−qT ersetzt (q = kontinuierliche Dividendenrendite).
Kein vorzeitiges Ausüben – Das Modell gilt nur für europäische Optionen. Amerikanische Optionen mit Early-Exercise-Möglichkeit werden mit dem Binomialmodell oder Barone-Adesi-Whaley-Näherung bewertet.
Kontinuierlicher, reibungsfreier Handel – Keine Transaktionskosten, kein Overnight-Gap-Risiko, kein Liquiditätsrisiko. Gaps nach Earnings/Nachrichten können zu Verlusten führen, die das Modell nicht erfasst.
Bekannter, konstanter Zinssatz – Für kurzfristige Optionen (unter 90 DTE) ist diese Annahme meist hinreichend genau. Für LEAPS relevanter.
Implizite Volatilität (Implied Volatility – IV)
Die Implizite Volatilität ist die Volatilität, die man in das Black-Scholes-Modell einsetzen muss, damit der theoretische Preis dem Marktpreis entspricht. Sie ist die Markterwartung zukünftiger Kursschwankungen – kein historischer Wert.
Marktpreis = Black-Scholes(S, K, r, T, IV)
IV kann nicht analytisch hergeleitet werden – sie wird per iterativer Methode (Newton-Raphson-Algorithmus) aus dem beobachteten Marktpreis berechnet.
IV vs. Historische Volatilität (IV vs. HV / Realized Vol)
| Merkmal | Implizite Volatilität (IV) | Historische Volatilität (HV / RV) |
|---|---|---|
| Was sie misst | Zukünftig erwartete Schwankungsbreite | Vergangene, realisierte Schwankungsbreite |
| Herkunft | Aus Optionspreisen abgeleitet (Markt) | Aus historischen Kursdaten berechnet |
| Zeitbezug | Vorausschauend (forward-looking) | Rückblickend (backward-looking) |
| Einheit | % annualisiert (z.B. IV = 30 %) | % annualisiert (z.B. 20-tägiges HV = 22 %) |
| Tageserwarteter Move | Kurs × IV / √252 | Berechnet aus Schlusskursrenditen |
| Steigt bei … | Unsicherheit, Fear, bevorstehenden Events | Tatsächlichen großen Kursbewegungen |
Täglicher erwarteter Kursmove (Expected Daily Move)
Beispiel: Aktie bei 200 $, IV = 30 % → 200 × 0.30 / √252 ≈ 3.79 $ erwartete tägliche Schwankung (1 Standardabweichung, ~68 % der Tage).
Erwarteter Move bis Verfall (Expected Move to Expiration)
Praxisnäherung: EM ≈ ATM-Straddle-Preis. Viele Trader lesen den EM direkt vom Optionschain ab – der Preis des ATM Straddles (Call + Put) ist eine gute Schätzung für den ±1σ-Bereich bis Verfall.
IV Rank & IV Percentile (IVR / IVP)
Eine IV von 35 % ist alleine bedeutungslos – ist das hoch oder niedrig für diese Aktie? IV Rank und IV Percentile setzen die aktuelle IV in einen historischen Kontext.
IV Rank (IVR)
Zeigt, wo die aktuelle IV relativ zu ihrer 52-Wochen-Spanne steht. IVR = 70 bedeutet: IV ist bei 70 % ihres Jahres-Maximalabstands.
IV Percentile (IVP)
Prozentsatz der Handelstage im letzten Jahr, an denen die IV niedriger war als heute. IVP = 80 → an 80 % der vergangenen Tage war IV niedriger.
Robuster als IVR bei Ausreißern (ein extremer Spike verfälscht IVR dauerhaft, IVP weniger).
IV Rank – visuelle Einordnung
| IVR / IVP | IV-Einschätzung | Bevorzugte Strategie | Beispiel |
|---|---|---|---|
| 0 – 30 | IV historisch niedrig | Long Vega: Optionen kaufen | Long Straddle, LEAPS Calls |
| 30 – 50 | IV neutral | Kreditstrategien oder definiertes Risiko | Spreads, Covered Call |
| 50 – 100 | IV historisch hoch | Short Vega: Prämien verkaufen | Short Strangle, Iron Condor, CSP |
VIX – Der Fear Index
Der VIX (CBOE Volatility Index) misst die 30-tägige implizite Volatilität der S&P 500 Indexoptionen (SPX). Er gilt als Stimmungsindikator des Gesamtmarkts:
VIX < 15
Geringe Marktangst, Optionsprämien niedrig. Schwieriges Umfeld für Prämienverkäufer.
VIX 15 – 25
Normales Handelsumfeld. Balancierte Prämien für beide Seiten.
VIX 25 – 40
Starke Marktunsicherheit. Gute Bedingungen für Prämienverkäufer (höherer Edge).
VIX > 40
Krise/Crash. Sehr hohe Prämien – aber auch hohes Tail-Risk. Selektiv und klein handeln.
Volatility Smile & Skew (Volatility Smile / Put Skew)
Wenn Black-Scholes korrekt wäre, wäre die IV über alle Strikes gleich – eine horizontale Linie. In der Realität zeigt sie eine charakteristische Kurve, die als Volatility Smile oder Volatility Skew bezeichnet wird.
Implizite Volatilität vs. Strike – Equity Smirk
OTM Puts (linke Seite) haben systematisch höhere IV als ATM und OTM Calls. In Aktienmärkten entsteht ein "Smirk" oder "Skew" (kein symmetrischer Smile).
Warum existiert der Put Skew?
Crash-Angst & Versicherungsnachfrage: Institutionelle Investoren kaufen OTM Puts systematisch als Portfolio-Absicherung (tail hedge). Hohe Nachfrage → höhere Prämie → höhere IV für OTM Puts.
Leverage-Effekt (Leverage Effect): Wenn Aktienkurse fallen, steigt der Fremdkapitalanteil der Unternehmen relativ, was die Unternehmens- volatilität erhöht. Negative Kurskorrelation mit Volatilität ist empirisch belegt.
Black-Monday-Schock (1987): Vor dem Crash von 1987 gab es keinen systematischen Skew. Seit dem plötzlichen 22 %-Einbruch hat der Markt dauerhaft Crash-Prämien in OTM Puts eingepreist.
Praktische Implikationen des Skews
| Position | Skew-Auswirkung | Konsequenz |
|---|---|---|
| Short OTM Put (z.B. CSP) | Erhält höhere Prämie durch Skew | Prämienverkäufer profitieren vom Put Skew |
| Long OTM Put (Absicherung) | Zahlt Skew-Aufschlag | Hedging ist teuer – besonders bei hohem IV Skew |
| Bull Put Spread | Short-Leg teurer (höhere IV) als Long-Leg | Netto-Kredit ist attraktiver als gleichwertiger Bull Call Spread |
| Risk Reversal | Short Put + Long Call: Skew begünstigt die Short-Put-Seite | Häufige Strategie bei bullisher Einschätzung |
Volatilitätsterminstruktur (Volatility Term Structure)
IV variiert nicht nur über Strikes (Smile/Skew), sondern auch über verschiedene Verfallstermine. Die Darstellung der IV über alle Strikes und alle Laufzeiten ergibt die Volatilitätsoberfläche (Volatility Surface).
IV vs. Laufzeit – verschiedene Marktphasen
Normale Term Structure: längere Laufzeiten haben höhere IV. Invertierte Term Structure: kurzfristige IV übersteigt langfristige – typisch in Krisen.
| Term Structure | Marktsituation | Strategische Implikation |
|---|---|---|
| Normal (Contango) | Ruhige Märkte, keine unmittelbaren Events | Calendar Spreads: Short vordere, Long hintere Laufzeit |
| Invertiert (Backwardation) | Krisen, Panik, VIX-Spike | Vordere kurze Laufzeiten besonders teuer → ideal für kurzfristigen Prämienverkauf |
| Buckelig (Hump) | Earnings im Frontmonat | Earnings-Volatilität isolieren: Short im Earnings-Monat, Long in anderen Laufzeiten |
Alternativen & Erweiterungen (Beyond Black-Scholes)
| Modell | Kernidee | Vorteil gegenüber BS | Anwendung |
|---|---|---|---|
| Binomialmodell (Cox-Ross-Rubinstein) |
Diskrete Preisbäume: Kurs kann in jedem Schritt rauf oder runter | Unterstützt Early Exercise → korrekte Preisfindung für amerikanische Optionen | US-Aktienoptionen, Dividenden-adjustiert |
| Heston-Modell | Stochastische Volatilität (mean-reverting random walk) | Erklärt Volatility Smile / Skew endogen | Exotische Optionen, Volatilitätsderivate |
| SABR-Modell | Stochastische Volatilität mit Korrelation zu Kursänderungen | Industrie-Standard für Interest-Rate Options und FX | Zinsderivate, FX-Optionen |
| Local Vol-Modell (Dupire, Derman-Kani) |
σ ist eine deterministische Funktion von S und t | Kalibriert exakt auf die gesamte observierte Vol-Surface | Strukturierte Produkte, Barrier Options |
| Jump-Diffusion (Merton, Bates) |
Normaler Kurs-Prozess + diskrete Sprünge (jumps) | Erfasst Fat Tails und Crash-Risiken besser | Crash-Hedging, Equity Tail Risk |